【教学内容】

苏教版《义务教育教科书·数学》五年级下册第30～32页例1、例2、例3。

【教学目标】

1、使学生结合整数乘除法计算初步理解因数与倍数的含义，经历找一个数的所有因数和一个数的倍数的过程，探索并掌握找一个数因数与倍数的基本思考方法，发现一个数因数与倍数的基本特征。

2、使学生在自主探究学习的过程中进一步锻炼观察、分析、抽象、概括的能力，培养思维的有序性和条理性，感受几何直观的作用，感悟基本数学思想。

3、使学生在探索过程中进一步体会自然数的丰富内涵，感受数学知识之间的内在联系，增强学习数学的兴趣。

【重点难点】

重点：理解因数与倍数的含义，掌握找一个数因数与倍数的方法。

难点：发现一个数因数与倍数的主要特征。

【课前准备】学习单、小组研究单、课件等。

【教学过程】

一、经验向导，数形结合

1.激发旧知经验，形成研究素材。

师：研究数，离不开形。同学们，今天这节课我们从拼长方形开始（出示：12个同样大的小正方形）请看，这里有12个同样大的正方形，你能将它们拼成一个长方形吗？先在头脑里想一想摆法。

师：想好了吗？你能用一道乘法算式表示出你的摆法吗？

师：谁来说一说？

生1：6×2=12

师：你是怎么想的？

生：每排摆6个，摆成2排。（学生表达的对就可以了）

师：这个算式还能表示什么摆法？

生：每排摆2个，摆成6排。

师：你们想的真全面，这个算式有两种摆法。

师：还有其他的算式吗？

生2：12×1=12

师：你也来说说你的想法？

生：每排摆12个，摆成1排。

师：同样的，也可以（引导学生说）每排摆1个，摆成12排

师：还有其他的吗？

生3：4×3=12

师：你又是怎么想的呢？

生：每排摆4个，摆3排或者每排摆3个，摆4排。

（若有错的，教师纠正）

2.结合直观材料，初步建构意义。

师：拼一拼长方形，我们得到了3道不同的乘法算式，可不要小瞧他们，今天的知识就藏在它们之中。

师示范指导：以4×3=12为例（板书），我们可以说，3是12的因数，4也是12的因数，也就是说4和3都是12的——（齐）因数；12 是 4 的——（齐）倍数，也是——（齐）3的倍数。

师：你也能像这样说一说3、4和12之间的关系吗？

生：4是12的因数，3也是12的因数；12是4的倍数，12也是3的倍数。

师：同学们说的可真好，今天这节课我们就来研究因数和倍数。需要说明的是，我们在研究因数与倍数关系时，所说的数一般指非零自然数。

师：（出示：6×2=12、12×1=12）这里还有两道乘法算式，你能说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？

生： 12是6的倍数，也是2的倍数；6和2都是12的因数。

师：你说的真好。

师：下面这道算式又该怎么说呢？

生：12 和 1 都是 12 的因数，12 是 12 的倍数，也是1的倍数。

师：说的真完整。

师：同学们你们学的可真快呀，同桌选一道算式，互相说一说。

师：根据这3个乘法算式，我们初步认识了因数和倍数，现在，你能想一个算式，并说一说算式中各数之间的关系吗？（学生说，教师板书）（第一个算式学生举例，学生说；第二个算式学生举例，同桌说。）

师：同学们想到的都是乘法算式，有谁想到的不是乘法算式吗？

师：那请你说一说在除法算式中各数之间的关系。

师：你是怎么想的？

师：你领会到了乘法和除法之间的关系，根据除法算式，也可以说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

3.组织巩固练习，运用概念表达。

（1）师：现在没有算式了，只有这两个数，你也能说清，哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数吗？先在心里想一想，想好之后再和同桌互相说一说。

师：谁愿意和大家分享？

生1：6是12的因数，12是6的倍数。

师：再看这两个数。

生：12是36 的因数，36是12的倍数。

师引导：看这两组数，你有什么特别的发现。

师：你的眼睛真亮。看呀，为什么12在这里就是一个数的倍数，在这儿就是一个数的因数了呢？

生：虽然都是12，但要看它和谁在一起，它和6在一起就是6的倍数，和36在一起就是36的因数。

师：是的，你说的真好。所以我们可以知道，因数和倍数不是指一个数，而是指的两个数之间的关系。

师；因此我们在说的时候，一定要说清，这个数是谁的因数，这个数是谁的倍数。

三、体验推导，探索方法

1、找出36的所有因数
师：刚才我们认识了因数和倍数，那关于因数和倍数你还有什么要研究吗？

①怎么找一个数的因数和倍数？

②因数和倍数有什么作用？

③因数和倍数有什么特征？……

师：提问题比解决问题更宝贵。

师：那怎样找一个数的因数和倍数呢？我们先从因数开始。

师：刚刚在说一说的活动中，我们知道12是36的因数，那36的因数就只有12吗？

师：36的因数究竟有哪些呢？怎样才能把他们都找出来？你想怎么找？（课件出示）

师：先想一想，再和小组里的同学交流一下怎么做。

（充分交流，走下去适当提示，反馈对过程不要展开，只需评价思维方法、策略）（只要有算式、有序、从小到大）

生：用乘法算式。

师：你的想法真好，想到借助算式来找36的因数。

师：还有其他的想法吗？（目的只要有算式、有序、从小到大）

生：从1开始找起……

师：你很有研究的思路，这样做肯定很有序。

生：一一列举。

师：你真会数学的策略，一一列举地找有什么优点呢？

生：不重复、不遗漏。

师：同学们你们可真有研究的头脑，已经想好怎样研究，下面听研学活动一的要求。

①第一张：不全

师：我们一起看看这位同学找的怎么样？

②第二张：没按顺序写

师：那这张呢？谁来评价一下？

（讲不出）师：对比这两张一起来看看呢？

师小结：找36的因数可以借助乘法算式（贴板书（）×（）=（）），先从1开始想起，1×36=36,所以36的第一对因数，就是1和它本身；再想2,2×18=36，2和18都是36的因数；3×12=36，3和12都是36的因数；4×9=36，4和9都是36的因数；接着想6×6=36,6是36的因数，这样36的因数就全都找到了。36的因数有，一对一对地书写。

师：还有同学是这么做的，他是怎么想的？谁来说一说。

（找正确的）

师：你和他真是心有灵犀呀！借助除法算式（贴板书（）÷（）=（）），先从36÷1=36这个算式开始想起，依次列出算式，找出了36的所有因数。（直接出示所有的除法算式）

师：观察这两种方法，这样找36的因数有什么优点吗？

师：都是有序的，一对一对找36的因数。

师：找一个数的因数不仅要有序的一对一对找，最好还要从小到大记。这样可以不重复不遗漏，还能书写美观。

师：熟练了以后，想算式的过程可以在心里完成，直接书写36的因数。

师：36的因数也可以写在这样的集合图里来表示。（课件呈现）

师：接着我们在数轴上也能找到36的因数所对应的点。来，和老师一起感受一下这其中的变化，伸出双手分别指向1，36，我们发现这时候两个数之间的距离比较远。

师：继续，2，18，距离（缩短）

师：3，12，距离进一步缩小。

师：所以当我们找到6×6=36时，还要继续往下找吗？

生：不用找了。

（2）师：请同学们用同样的方法在学习单上直接写出15和16的因数。

学生在学习单上完成后组织汇报。（注意多反馈几个）

生1：15的因数有1，3，5，15。

生2：16的因数有1，2，4，8，16。

2、找3的倍数

师：刚才我们学会了找一个数的因数，接下来我们应该研究什么啦？

师：根据我们刚刚找因数的经验，以找3的倍数为例，你想怎么找？

   （有序、算式）

师：哦，你还是想借用算式来找3的倍数。

生：从1开始找起……

师：你也很有数学头脑。

生：一一列举。

师：你真会用数学的策略。

师：好，那就听你们的！开始研学活动二吧！

师：能说说你是怎么找的吗？

（展示学生结果）师相机红笔修改。

师；从1开始想起，3×1=3，这样就找出3的第一个倍数，就是（3）是的，它本身；接下来，3×2=6，我们又找到一个3的倍数是6。依次往下，我们找到3的倍数有3，6，9。。。，依次一个一个找到了3的倍数，但是写的完吗？（写不完）所以我们通常写出5个数，数与数之间用逗号隔开，后面的数用省略号表示。数学上的省略号是三个点。熟练了之后，上面的算式，我们也可以在心里完成。

师：3的倍数同样可以用集合图表示。在数轴上能找到3的倍数所对应的点吗？这样的点有多少个？

3、找一个数的倍数巩固练习

师：刚刚我们有序的找出3的倍数，那你能用这种办法找到2的倍数吗？5的倍数吗？（注意多反馈几个）

学生分小组自行研究，并完成研究单。

4、比较特点

     师：刚才我们学习了一个数的因数和倍数，学到这么多知识，让我们一起来玩个游戏吧！

     游戏一：

     师：红包背后藏着一个数，按从小到大的顺序贴出这个数的所有因数。

     师：如果只翻开其中一张，就能猜出这个数，你想翻开哪一张？

      （翻的不对，看红包背后的数，得不到红包）

     师：（翻开最后一张，猜出）你这么厉害！你是怎么想的？

     生：一个数的最大因数是它本身。

师：他通过学习，猜想一个数最大因数是它本身，你们同意吗？那之前我们研究的数，它们是不是也有这样的特征呢？

师：有最大的因数，你会想到什么？（有最小因数）那最小因数是.......（1）

师：这些数的最大因数是它本身，最小因数是1，那其他的自然数是不是也有这样的特征呢？

师：你是怎么想的？

师：因为每个自然数都能写成1和它本身相乘，所以一个数最大因数是它本身，最小因数是1。

      师：有最小因数，有最大因数，所以一个数因数的个数是有限的。

     游戏二：

     师：让我们再来玩一个游戏。

     师：红包背后也藏着一个数，按从小到大

师：只翻一张，就能猜到红包背后的数，你翻哪一张？

情况一：第二张

师：你怎么想到翻第二张的？

师：他想的有没有道理？

师：他讲的道理你们听明白了吗？有没有同学和他的想法不一样？

情况二：第一张

师：你是怎么想的？

生：一个数的最小倍数是它本身。

师：你们同意他的想法吗？

师：刚才他通过知道这个数最小的倍数是它本身，猜出了这个数。

师：那其他数最小的倍数是不是也是它本身呢？回顾一下之前我们找过的这几个数的倍数。

师：那别的自然数最小倍数是不是也是它本身呢？（是的）

师：你是怎么想的？

生：因为一个数的第一个倍数，是1乘它本身，结果就是它本身，所以一个数最小倍数是它本身。

师：那有最小倍数，那会有最大倍数吗？

生：没有最大的倍数。

师：你们真善于发现，是呀一个数最小的倍数是它本身，没有最大倍数，一个数倍数的个数是无限的。

5、学用互导，品味收获

    1、回顾总结

师：让我们一起来回顾一下，今天我们的学习是这样开始的。

师：①我们从拼长方形开始，再到没有图形和算式，认识因数和倍数；

②接着我们有干什么啦？（找一个数的因数和倍数）是呀，我们根据认识因数的经验，先找了一个数的因数。同学们自己设计研究思路，借助算式，一对一对有序地找一个数的因数。

③我们又根据认识倍数的经验，和找一个数因数的经验，又找一个数的倍数，也是通过自己的研究，借助算式找一个数的倍数。

④最后我们还玩了两个游戏，根据找一个数因数和倍数的经验，体会了因数和倍数的特征。

是呀，数学知识就是像这样前后联系，一点一点生长出来的，那后面还会生长出什么呢？

研究因数和倍数的知识才刚刚开始，后面还有许多知识等待我们去学习。

2、巩固提升，渗透数学文化

师：其实啊，因数和倍数的知识和我们生活息息相关呢？看这个知识卡片。

60的因数有12个，分别是1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。它和72、84、90、96几个数都是100以内自然数中因数个数最多的。最早的文字记载显示古巴比伦人使用60进制来计数；古罗马帝国时间使用60进制，并沿用至今。时间为什么用60进制呢？其中一个原因是因为60的因数比较多，方便时间换算。）